Nos últimos anos, houve um grande interesse em detectar propriedades do grupo fundamental $\pi_1(M)$ de uma $3$-variedade por meio de seus quocientes finitos ou, mais conceitualmente, pelo seu completamento profinito. Isso motiva o estudo do completamento profinito $\widehat{\pi_1(M)}$ do grupo fundamental de uma $3$-variedade. Um trabalho recente de 2017 de H. Wilton e P. Zalesskii mostra que as decomposições típicas de grupos de $3$-variedades, como produtos livres com amalgamação, extensões HNN e grafos de grupos, são preservadas sob o completamento profinito. Assim, pode-se usar o análogo profinito da teoria de Bass-Serre para grupos agindo em árvores. No entanto, essa teoria não possui a força total de sua versão clássica. O teorema principal da teoria de Bass-Serre não é válido no caso profinito. Como consequência, os teoremas de subgrupos não valem, em geral, para grupos profinitos e mesmo para produtos profinitos livres, ou seja, a versão profinita do teorema dos subgrupos de Kurosh não é válida. Isso implica que é razoável estudar a estrutura de subgrupos de construções livres para subclasses importantes de grupos profinitos. As subclasses mais importantes de grupos profinitos são os grupos prosolúveis e os grupos pro-$p$, pois desempenham o mesmo papel que os $p$-grupos e os grupos solúveis na teoria de grupos finitos. Em particular, isso se aplica ao completamento profinito dos grupos de $3$-variedades. Tal estudo para subgrupos pro-$p$ foi realizado em 2017 quando foi descrita a estrutura de subgrupos pro-$p$ finitamente gerados do completamento profinito dos grupos fundamentais de uma $3$-variedade. O objetivo deste trabalho é estudar os subgrupos prosolúveis de $\widehat{\pi_1(M)}$.
Nesta palestra, mostraremos como utilizamos a versão profinita da teoria de Bass-Serre para classificar subgrupos prosolúveis do completamento profinito de grupos de $3$-variedades.
Além disso, discutiremos novos avanços voltados para a obtenção de uma classificação dos subgrupos pro-$\mathcal{C}$ para classes maiores $\mathcal{C}$ de grupos finitos. Estudantes de graduação são bem-vindos, pois esta será uma palestra expositiva. Este é um trabalho em conjunto com Pavel Zalesskii.