Consideramos aplicações em variedades compactas admitindo pontos críticos, descontinuidades e singularidades. Mostraremos que, sob certas condições, admitem aplicações induzidas do tipo Gibbs-Markov com tempo de retorno integrável se, e somente se, possuírem uma probabilidade invariante ergódica absolutamente contínua com todos expoentes de Lyapunov positivos. Trabalho em parceria com Jose F. Alves e Stefano Luzzatto.